Die Eulersche Zahl e ist überall

Neben meiner Lieblingszahl Pi taucht im realen Leben (und in der mathematisch angehauchten Literatur) sehr oft die Zahl e = 2,71828… auf. Bei e handelt es sich um eine reelle Zahl, die zudem irrational und transzendent ist. Zu Ehren von Leonhard Euler, der im Jahre 1737 die Irrationalität von e bewies, wird e auch als Eulersche Zahl bezeichnet. Aufgrund der Irrationalität bricht die Zahl e=2.71828182845904523536… weder ab noch ist sie periodisch.

Der Beweis der Transzendenz von e ist deutlich schwerer als der Beweis der Irrationalität und hat über 130 Jahre auf sich warten lassen. Der Beweis gelang Charles Hermite im Jahre 1873. Bis zum Beweis der Transzendenz von Pi dauerte es noch einmal 9 Jahre.

Übrigens wurde die Existenz transzendenter Zahlen im Jahr 1844 von Joseph Liouville bewiesen und mit Beispielen belegt. Diese wirkten aber ziemlich künstlich, stellvertrend sei hier die Liouvillesche Konstante L = 0,110001000000000000000001000000… genannt. Die Mathematiker bissen sich also fast 30 Jahre lang die Zähne aus, bis sie die Transzendenz einer echten und schönen Zahl beweisen konnten 😉

Formeln zum Berechnen der Zahl e gibt es wie Sand am Meer. Die populärste dürfte aber die von Euler entdeckte unendliche Reihe sein:

Eulersche Zahl als unendliche Reihe

Eine weitere, oft in der mathematischen Literatur anzutreffende Formel basiert auf dem Grenzwert einer ins Unendliche fortgeführten Zinseszins Berechnung:
Eulersche Zahl als Grenzwert

ExponentialfunktionAuch wenn π eine der am häufigsten eingesetzten (mathematischen) Konstanten sein dürfte, die Eulersche Zahl e dürfte sie noch toppen. Als Basis des natürlichen Logarithmus ln(x) und der (natürlichen) Exponentionalfunktion ex taucht sie überall in der Mathematik und Physik auf. Und in weiteren Wissenschaften. Wenn es um Wachstum geht, dann ist auch die Exponentialfunktion ganz schnell im Spiel. Sei es exponentielles Wachstum oder logistisches Wachstum, im Zentrum der Formeln steht immer e. Ihr seht, die Eulersche Zahl e ist überall.

Und die Kreiszahl begleitet sie ganz oft, so wie hier in meiner Lieblingsgleichung: eπi + 1 = 0.

Die Graphik hier am Schluss zeigt übrigens den Verlauf von logistischem Wachstum. Und ist so gesehen die lebensnähere Betrachtung von Wachstum auf der Erde. Aufgrund von Ressourcen-Verknappung geht im wirklichen Leben ein anfänglich exponentielles Wachstum in ein logistisches über. Wie wir gerade alle im Zusammenhang mit dem Corona-Virus lernen konnten.

Logistische Funktion

Bildquelle: Wikipedia Exponentialfunktion
Logistische Funktion

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